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初中数学求线段和差最值知识

时间2019-04-15 来源:东北菜谱家常菜做法

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  初中阶段我们学过三种路径最值问题,一是两点之间线段最短;二是将军饮马问题;三是直线外一点与直线上一点的连线中,垂线段最短。

  一、直接利用公理(定理)求最值

  1、公理:两点直接线段最短

  2、定理:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(由上面公理证明而得)

  3、定理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。(简称垂线段最短)

  所有的线段和差问题都是直接利用或者转化为第1点或第3点来求最值,这是咱们思考这类问题的出发点,大家要死死记住。

  二、结合图形三大变换求最值

  1、应用平移变换、轴对称变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(将军饮马问题)

  2、应用旋转变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(费马点问题)

  【将军饮马问题】

  【费马点问题】

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  三.例题

  1.如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?

  作点B关于直线CD的对称点B',连接AB',交CD于点M

  则AM+BM = AM+B'M = AB',水厂建在M点时,费用最小

  如右图,在直角△AB'E中,

  AE = AC+CE = 10+30 = 40

  EB' = 30

  所以:AB' = 50

  总费用为:50×3 = 150万

  2.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.

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  (1)用含x的代数式表示AC+CE的长;

  (2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?

  (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值



  3.两条公路OA、OB相交,在两条公路的中间有一个油库,设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站,,请你设计一个方案,把两个加油站设在何处,可使运油车从油库出发,经过一个加油站,再到另一个加油站,最后回到油库所走的路程最短.

  分析 这是一个实际问题,我们需要把它转化为数学问题,经过分析,我们知道此题是求运油车所走路程最短,OA与OB相交,点P在∠AOB内部,通常我们会想到轴对称,分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ,连结P1P2分别交OA、OB于C、D,C、D两点就是使运油车所走路程最短,而建加油站的地点,那么是不是最短的呢?我们可以用三角形的三边关系进行说明.

  解:分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,

  连结P1P2分别交OA、OB于C、D,

  则C、D就是建加油站的位置.癫痫有哪些诱发因素呢p>

  若取异于C、D两点的点,

  则由三角形的三边关系,可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

  点评:在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短,请同学们思考弄明白。

  4.如图∠AOB = 45°,P是∠AOB内一点,PO = 10,Q、P分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.

  分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2,

  交OA、OB于点Q,R,连接OP1,OP2,

  则OP = OP1 = OP2 = 10

  且∠P1OP2 = 90°

  由勾股定理得P1P2 = 10

  5.如图,等腰Rt△ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为

  即在AC上作一点P,使PB+PE最小

  作点B关于AC的对称点B',连接B'E,交AC于点P,则B'E = PB'+PE = PB+PE

  B'E的长就是PB+PE的最小值

  在周口治疗癫痫效果好的医院有哪些呢直角△B'EF中,EF = 1,B'F =3

  根据勾股定理,B'E =

  6.等腰△ABC中,∠A = 20°,AB = AC = 20,M、N分别是AB、AC上的点,求BN+MN+MC的最小值

  分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’,连接C’B’交AB、AC于点M、N,则BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’,BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

  ∵∠BAC’ =∠BAC,∠CAB’ =∠CAB

  ∴∠B’AC’ = 60°

  ∵AC’ = AC,AB’ = AB,AC = AB

  ∴AC’ = AB’

  ∴△AB’C’是等边三角形

  ∴B’C’ = 20

  7.如图,在等边△ABC中,AB = 6,AD⊥BC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,且AE = 2,求EM+EC的最小值


作者:不详 来源:网络
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